Seinen Werdegang bei der Debeka startete der 66-Jährige bereits im Jahr 1973 mit einer Lehre zum Versicherungskaufmann in der Geschäftsstelle Stuttgart. Seitdem ist er der Debeka treu verbunden. Bis 1983 war Laue in Stuttgart für die Debeka tätig – zunächst als Sachbearbeiter und dann in verschiedenen Führungspositionen. 1983 wechselte er als Jugendverbandsbeauftragter in die Direktionsabteilung der Hauptverwaltung in Koblenz, bevor er 1986 höhere Führungspositionen in Bonn und dem damaligen Bereich Nordrhein/Süd ausführte. Nachdem er von 1991 bis 1998 wieder als Führungskraft in die Hauptverwaltung zurückkehrte, wurde er 1998 mit 41 Jahren in den Vorstand des Koblenzer Versicherers berufen. 2002 wurde er Vorstandsvorsitzender. Nach 20-jähriger Vorstandstätigkeit übernahm er 2018 den Aufsichtsratsvorsitz der Debeka-Unternehmen. 

„Wir danken Uwe Laue für 50 Jahre Engagement und Weitblick. Unter seiner Führung hat sich die Debeka zum Marktführer in der Privaten Krankenversicherung entwickelt“, würdigt Thomas Brahm, Vorstandsvorsitzender der Debeka-Versicherungsgruppe, das Wirken seines Vorgängers.

Auch außerhalb der Debeka war Laue über Jahrzehnte hinweg in Führungspositionen tätig. So war er von 2013 bis 2019 Vorstandsvorsitzender des Verbands der Privaten Krankenversicherung und Mitglied des Präsidiums des Gesamtverbands der Deutschen Versicherungswirtschaft. Darüber hinaus war und ist er in vielen weiteren Vereinen und Verbänden für die Region aktiv.